Uwaga: Ten kalkulator używa zaawansowanych algorytmów matematycznych do obliczania całek. Wprowadź funkcję matematyczną w standardowej notacji.
Proszę wprowadzić poprawną funkcję matematyczną.
Przykłady funkcji:
x² sin(x) e^x ln(x) 1/xProszę wprowadzić poprawne granice całkowania.
Proszę wprowadzić poprawną funkcję matematyczną.
Przykłady funkcji:
x² sin(x) e^x ln(x) 1/xWynik Całkowania
Wynik obliczeń:
Wprowadź dane i kliknij „Oblicz”
Kroki rozwiązania
Kroki rozwiązania pojawią się tutaj po wykonaniu obliczeń.
Do czego służą całki?
- Fizyka: Obliczanie pracy, energii, pola elektrycznego.
- Statystyka: Wyznaczanie wartości oczekiwanej i wariancji.
- Inżynieria: Projektowanie konstrukcji, analiza sygnałów.
- Ekonomia: Modelowanie przepływów finansowych.
- Geometria: Obliczanie pól powierzchni i objętości.
- Biologia: Modelowanie wzrostu populacji.
- Informatyka: Algorytmy numeryczne, modelowanie.
- Astronomia: Obliczanie orbit i trajektorii.
O całkach i ich zastosowaniu
Całkowanie to jedna z podstawowych operacji matematycznych, która pozwala na obliczanie pola pod krzywą, objętości brył, czy rozwiązywanie równań różniczkowych. Wyróżniamy dwa główne rodzaje całek:
| Rodzaj całki | Opis | Zastosowanie |
|---|---|---|
| Całka nieoznaczona | Funkcja pierwotna, której pochodna jest równa danej funkcji. | Rozwiązywanie równań różniczkowych, znajdowanie funkcji potencjału. |
| Całka oznaczona | Wartość liczbowa reprezentująca pole pod krzywą w określonym przedziale. | Obliczanie pola powierzchni, pracy, objętości, długości krzywej. |
Metody całkowania
Istnieje kilka podstawowych metod całkowania:
- Całkowanie przez podstawienie: Zmiana zmiennej w celu uproszczenia całki.
- Całkowanie przez części: Wykorzystanie wzoru ∫u·dv = u·v – ∫v·du.
- Całkowanie funkcji wymiernych: Rozkład na ułamki proste.
- Całkowanie funkcji trygonometrycznych: Wykorzystanie odpowiednich tożsamości.
- Metody numeryczne: Kwadratury Newtona-Cotesa, metoda trapezów, metoda Simpsona.
Najważniejsze wzory całkowe
∫xn dx = (xn+1)/(n+1) + C, n ≠ -1
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
∫cos(x) dx = sin(x) + C
∫ex dx = ex + C
∫(1/x) dx = ln|x| + C